A History of Mathematical Impossibility

by Jesper Lützen

Many of the most famous results in mathematics are impossibility theorems stating that something cannot be done. Good examples include the quadrature of the circle by ruler and compass, the solution of the quintic equation by radicals, Fermat's last theorem, and the impossibility of proving the parallel postulate from the other axioms of Euclidean geometry. This book tells the history of these and many other impossibility theorems starting with the ancient Greek
proof of the incommensurability of the side and the diagonal in a square.

Lützen argues that the role of impossibility results have changed over time. At first, they were considered rather unimportant meta-statements concerning mathematics but gradually they obtained the role of important proper mathematical results that can and should be proved. While mathematical impossibility proofs are more rigorous than impossibility arguments in other areas of life, mathematicians have employed great ingenuity to circumvent impossibilities by changing the rules of the
game. For example, complex numbers were invented in order to make impossible equations solvable. In this way, impossibilities have been a strong creative force in the development of mathematics, mathematical physics, and social science.

305 pages, Kindle Edition

Published December 30, 2022

About the author

Lützen machte 1976 seinen Abschluss in Mathematik (mit Physik als Nebenfach) an der Universität Aarhus, wo er auch 1980 in Wissenschaftsgeschichte bei Kirsti Andersen promoviert wurde (Lizenziat). Im selben Jahr war er Gastwissenschaftler an der Yale University (bei Asger Aaboe) und wurde Lektor auf Zeit (eine temporäre Assistenzprofessoren-Stelle) an der Universität Odense und ab 1985 Lektor an der Universität Kopenhagen. 1990 wurde er an der Universität Kopenhagen habilitiert (Doctor Scientiarum). Er ist seit 1989 Dozent und seit 2005 Professor für Mathematikgeschichte an der Universität Kopenhagen in der Fakultät für Mathematik. Er war unter anderem Gastwissenschaftler in Utrecht (bei Henk Bos), Paris, am Dibner Institute des Massachusetts Institute of Technology und am Mittag-Leffler-Institut, am Caltech, der University of California, Santa Barbara, und an der University of Toronto.

Lützen beschäftigte sich mit der Vorgeschichte der Distributionentheorie (vor der eigentlichen Einführung durch Sergei Lwowitsch Sobolew um 1936 und Laurent Schwartz um 1950), Joseph Liouville (dessen Biographie er schrieb) und Heinrich Hertz und dessen Mechanik. Die Vorgeschichte der Theorie der Distributionen war auch gleichzeitig Thema seiner Dissertation.[1]

1990 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Kyoto (The birth of spectral theory- Joseph Liouville´s contributions). Seit 1993 ist er volles Mitglied der International Academy of the History of Science (zuvor ab 1988 korrespondierendes Mitglied) und er ist Mitglied der Königlich Dänischen Akademie der Wissenschaften (1996).

Er ist Mitherausgeber von Archive for the History of Exact Sciences, Historia Mathematica und Revue d´histoire de Mathématique sowie der Buchreihe Arkimedes und der Sources and studies in the history of mathematics and physical sciences (Springer Verlag).

Seit 1986 ist er im dänischen nationalen Komitee für die Geschichte und Philosophie der Wissenschaften und seit 1990 der dänische Vertreter in der International Commission on the History of Mathematics. Er ist Mitglied der dänischen mathematischen Gesellschaft, der American Mathematical Society, der dänischen Gesellschaft für Wissenschaftsgeschichte (deren Präsident er 1995 bis 2006 war und deren Sekretär er seit 2007 ist) und der US-amerikanischen History of Science Society.

Er ist seit 1990 verheiratet und hat drei Töchter.