Συνεχή και Διακριτά Δυναμικά Συστήματα: Μια εισαγωγή στην θεωρία του χάους

by Σταύρος Αναστασίου, Αναστάσιος Μπούντης

Η επιστημονική περιοχή των Δυναμικών Συστημάτων γνωρίζει τις τελευταί­ες δεκαετίες, διεθνώς αλλά και στην Ελλάδα, εξαιρετικά αλματώδη πρόοδο που συνεχίζεται αμείωτη μέχρι τις μέρες μας. Ο κύριος λόγος για αυτό οφείλεται στο ότι η θεματολογία των Δυναμικών Συστημάτων αγκαλιάζει ένα πλήθος διαφορετικών κλάδων, όχι μόνον των Θετικών αλλά και των Τεχνολογικών και Κοινωνικών Επιστημών. Θα μπορούσε να ισχυρισθεί κανείς ότι οποιοδήποτε φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό ή κοινωνικό φαινόμενο εμφανίζει εν­διαφέρουσα συμπεριφορά στο χρόνο μπορεί να χαρακτηρισθεί ως δυναμικό σύστημα που ορίζεται από: (α) έναν αριθμό αλληλοεξαρτώμενων μεταβλητών οι οποίες επηρεάζουν άμεσα το φαινόμενο και (β) ένα σύστημα εξισώσεων που διέπουν την χρονική του εξέλιξη.

Παραδείγματα δυναμικών συστημάτων υπάρχουν παντού τριγύρω μας: Από τις κινήσεις των πλανητών, τις ταλαντώσεις μοριακών πλεγμάτων, τη λειτουρ­γία ηλεκτρικών κυκλωμάτων, τη ροή ασυμπίεστων υγρών, την έκβαση χημικών αντιδράσεων, τη λειτουργία της καρδιάς ή την εξέλιξη αλληλεπιδρώντων πλη­θυσμών, προκύπτουν αντίστοιχες ντετερμινιστικές (αιτιοκρατικές) διαφορικές εξισώσεις, ή εξισώσεις διαφορών, που προσδιορίζουν τη δυναμική του συστήμα­τος σε συνεχή ή διακριτό χρόνο αντιστοίχως. Το μόνο που απαιτείται είναι οι εξισώσεις αυτές να είναι μη γραμμικές και να μην περιέχουν όρους «τυχαίων» αλληλεπιδράσεων με το περιβάλλον. Η ύπαρξη τυχαίων όρων άλλωστε παρα­πέμπει στην κατηγορία των λεγάμενων στοχαστικών δυναμικών συστημάτων, για τα οποία έχουν αναπτυχθεί μεθόδοι πολύ διαφορετικές από αυτές που θα περιγράφουμε στον παρόντα τόμο.

Τι είναι αυτό που κάνει τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων τόσο ελκυ­στική και συγχρόνως τόσο χρήσιμη; Μα ασφαλώς η επίλυση των εξισώσεών τους και η αποκάλυψη της δυναμικής τους συμπεριφοράς. Τι είδους λύσεις είναι αυτές που περιμένουμε; Καταρχάς, επιθυμούμε να διαπιστώσουμε αν δια­θέτουν καταστάσεις ισορροπίας στις οποίες το σύστημα είναι ακίνητο. Και αν τέτοιες καταστάσεις πράγματι υπάρχουν, μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε αν είναι «ευσταθείς», με την έννοια ότι το σύστημα παραμένει πάντα κοντά σε αυτές υπό αρκούντως ασθενείς διαταραχές.

234 pages, Paperback

Published January 1, 2020