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From Counting to Continuum
Understanding the natural numbers, which we use to count things, comes naturally. Meanwhile, the real numbers, which include a wide range of numbers from whole numbers to fractions to exotic ones like π, are, frankly, really difficult to describe rigorously. Instead of waiting to take a theorem-proof graduate course to appreciate the real numbers, readers new to university-level mathematics can explore the core ideas behind the construction of the real numbers in this friendly introduction. Beginning with the intuitive notion of counting, the book progresses step-by-step to the real numbers. Each sort of number is defined in terms of a simpler kind by developing an equivalence relation on a previous idea. We find the finite sets' equivalence classes are the natural numbers. Integers are equivalence classes of pairs of natural numbers. Modular numbers are equivalence classes of integers. And so forth. Exercises and their solutions are included.
232 pages, Paperback
Published December 12, 2024
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Community Reviews
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March 21, 2025
Ancora un modo per vedere come si costruiscono i numeri, e ancora nuove idee.
L'approccio che Scheinerman usa in questo libro per definire i vari tipi di numero è quello che è di moda negli ultimi tempi, e avevo già visto sul testo di Körner, che infatti è citato in bibliografia. L'idea è quella di definire le varie estensioni dei numeri come classi di equivalenza di coppie di quelli precedenti: per esempio la coppia di naturali (a, b) viene associata al numero intero a-b. Ma come sempre in questi casi dobbiamo controllare i dettagli, e qui direi che il testo merita davvero. A differenza di Körner, che comincia assumendo una conoscenza intuitiva dei numeri naturali che poi vengono definiti formalmente più avanti, Scheinerman usa il concetto di corrispondenza biunivoca per definire i naturali, e poi proseguire. Ma soprattutto le note a latere sono secondo me molto illuminanti, e permettono di vedere la creazione dei numeri in modo meno calato dall'alto: tenete anche conto che nella prefazione Scheinerman dice esplicitamente che è più interessato alle definizioni che alle dimostrazioni. E soprattutto la parte finale con gli accenni a estensioni non standard dei reali (IL campo ordinato completo, e già questa definizione, ancorché formalmente standard, fa capire il suo interesse da vero matematico nel vedere come si può andare avanti a partire da quello che parrebbe un punto fermo) merita davvero. Scheinerman mostra non solo i quaternioni ma anche i numeri p-adici e quelli tropicali, di cui non avevo mai sentito parlare...
Una lettura davvero utile non solo per chi è interessato ai fondamenti della matematica ma anche per chi non vuole fermarsi alle definizioni scolastiche dei numeri.
L'approccio che Scheinerman usa in questo libro per definire i vari tipi di numero è quello che è di moda negli ultimi tempi, e avevo già visto sul testo di Körner, che infatti è citato in bibliografia. L'idea è quella di definire le varie estensioni dei numeri come classi di equivalenza di coppie di quelli precedenti: per esempio la coppia di naturali (a, b) viene associata al numero intero a-b. Ma come sempre in questi casi dobbiamo controllare i dettagli, e qui direi che il testo merita davvero. A differenza di Körner, che comincia assumendo una conoscenza intuitiva dei numeri naturali che poi vengono definiti formalmente più avanti, Scheinerman usa il concetto di corrispondenza biunivoca per definire i naturali, e poi proseguire. Ma soprattutto le note a latere sono secondo me molto illuminanti, e permettono di vedere la creazione dei numeri in modo meno calato dall'alto: tenete anche conto che nella prefazione Scheinerman dice esplicitamente che è più interessato alle definizioni che alle dimostrazioni. E soprattutto la parte finale con gli accenni a estensioni non standard dei reali (IL campo ordinato completo, e già questa definizione, ancorché formalmente standard, fa capire il suo interesse da vero matematico nel vedere come si può andare avanti a partire da quello che parrebbe un punto fermo) merita davvero. Scheinerman mostra non solo i quaternioni ma anche i numeri p-adici e quelli tropicali, di cui non avevo mai sentito parlare...
Una lettura davvero utile non solo per chi è interessato ai fondamenti della matematica ma anche per chi non vuole fermarsi alle definizioni scolastiche dei numeri.
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