How to Write Mathematics

by Norman Earl Steenrod, Paul R. Halmos, Menahem M. Schiffer

This book contains four essays on expository writing of books and papers at the research level and at the level of graduate texts. The authors were the four members of the AMS Committee on Expository Writing

Genres: Writing, Mathematics

64 pages, Paperback

First published December 1, 1973

About the author

Norman Earl Steenrod (April 22, 1910 – October 14, 1971) was a preeminent mathematician most widely known for his contributions to the field of algebraic topology.

He was born in Dayton, Ohio, and educated at Miami University and University of Michigan (A.B. 1932). After receiving a master's degree from Harvard University in 1934, he enrolled at Princeton University. He completed his Ph.D. under the direction of Solomon Lefschetz, with a thesis titled Universal homology groups. He held positions at the University of Chicago from 1939 to 1942, and the University of Michigan from 1942 to 1947. He moved to Princeton University in 1947, and remained on the Faculty there for the rest of his career. He died in Princeton.

Thanks to Lefschetz and others, the cup product structure of cohomology was understood by the early 1940s. Steenrod was able to define operations from one cohomology group to another (the so-called Steenrod squares) that generalized the cup product. The additional structure made cohomology a finer invariant. The Steenrod cohomology operations form a (non-commutative) algebra under composition, known as the Steenrod algebra.

His book The Topology of Fibre Bundles is a standard reference. In collaboration with Samuel Eilenberg, he was a founder of the axiomatic approach to homology theory.

Reviews

[Quiver]

The basic problem in writing mathematics is the same as in writing biology, writing a novel, or writing directions for assembling a harpsichord: the problem is to communicate an idea. To do so, and to do it clearly, you must have something to say, and you must have someone to say it to, you must organize what you want to say, and you must arrange it in the order you want it said in, you must write it, rewrite it, and re-rewrite it several times, and you must be willing to think hard about and work hard on mechanical details such as diction, notation, and punctuation. That's all there is to it.

(From the essay by P. R. Halmos)

This short booklet contains four essays, written by each of the four authors, respectively. The essays are different in content and length, though they all mostly focus on the art of writing mathematical textbooks. Steenrod divides the contents into formal and informal, giving advice on how to approach writing both parts; Halmos takes up most of the pages and looks into all the parts of the writing procedure that are listed in the quote above; the other two authors contribute briefly (mainly as a reaction to previously given advice).

The attitude and tone of the essays is mature, direct, and in a way discouraging to anyone who is not already versed in mathematical writing. Non-native speakers of English will likely be baffled by Halmos's use of idiom. Conversely, any native English speaking mathematical expert looking to polish their strategy for writing textbooks will enjoy these essays. I'm reluctant to estimate the size of this tiny ideal audience.

[A YOGAM]

Paul R. Halmos: How to Write Mathematics(1973)

Über die Kunst, verständlich zu denken

Paul Halmos beginnt seinen Essay „How to Write Mathematics“ mit einer entwaffnenden Klarheit: Der Titel sei irreführend, gesteht er, und das Ganze nichts als ein „subjective essay“. Schon dieser Einstieg zeigt, worum es ihm wirklich geht – nicht um Rezepte, sondern um Haltung. Das Schreiben über Mathematik ist für Halmos ein moralischer Akt, ein Bekenntnis zu Klarheit, Präzision und Respekt vor dem Leser.
Im Vorwort schildert er, wie die Arbeit an dem Text „mit einem Komitee“ begann und „als privates Projekt davonlief“. Die Ironie ist bezeichnend: Wer über gutes Schreiben schreibt, verheddert sich unweigerlich im eigenen Stil. Halmos’ Schilderung der widersprüchlichen Ratschläge seiner Kollegen – zu lang, zu kurz, zu abstrakt, zu konkret – wird zum kleinen Lehrstück über die Eitelkeit wissenschaftlicher Klarheit. Am Ende zitiert er Luther: „Hier stehe ich; ich kann nicht anders.“ Ein Satz, der in diesem Kontext zugleich trotzig und heiter klingt – das Manifest eines Mannes, der lieber klar denkt als gefällig schreibt.
Halmos schreibt so, wie er denkt: in klaren Sätzen, ohne Schnörkel, mit einer fast sokratischen Geduld für Präzision. Wie schon in „Naive Set Theory“ und später in „Problems for Mathematicians, Young and Old“ steht er hier für eine Haltung, die Mathematik als Sprache versteht – als Kunst der Unmissverständlichkeit. Sein Text ist nicht nur ein Ratgeber für mathematisches Schreiben, sondern eine kleine Ethik des Denkens: ehrlich, prägnant, widerständig.
Ich lese diesen Essay weniger als Anleitung denn als Einladung – zum Mut zur Klarheit, auch dort, wo sie unbequem wird.
Ich lese diesen Essay weniger als Anleitung denn als Einladung – zum Mut zur Klarheit, auch dort, wo sie unbequem wird. Halmos’ (1916–2006) Beitrag bildet dabei das Herzstück des Bandes, aber er steht nicht allein: Norman E. Steenrod (1910–1971), Menahem M. Schiffer (1911–1997) und Jean A. Dieudonné (1906–1992) bereichern das Buch mit eigenen Perspektiven auf mathematisches Schreiben. Dieudonné, als Mitbegründer der Gruppe Bourbaki, prägte maßgeblich deren Einfluss auf die mathematische Didaktik und das Verständnis von Struktur und Abstraktion. Gemeinsam zeigt der Band, dass gutes Schreiben in der Mathematik nicht nur Technik, sondern Haltung ist – und dass die Reflexion über die Sprache ein ebenso kreativer wie unverzichtbarer Teil des mathematischen Denkens ist.
Man merkt, dass Halmos selbst über seine Arbeit lacht – die widersprüchlichen Ratschläge seiner Kollegen sind fast so unterhaltsam wie die eigentliche Botschaft: Den Mut zur Klarheit nicht verlieren.

[Emre Ergin]

Read this thanks to the recommendation by my late supervisor Hans Peters. Was interesting since the similarities between writing a math text book and a novel was highlighted constantly. Still, don't see myself writing a textbook anytime soon, hopefully maybe one day. Could use a more on point title.

[Sudip Paul]

Only Halmos's and Dieudonne's chapters are any good. Though Dieudonne's chapter is too small and feels like an extract from a larger article.