Analysis by Its History

by Ernst Hairer, Gerhard Wanner

. . . that departed from the traditional dry-as-dust mathematics textbook. (M. Kline, from the Preface to the paperback edition of Kline 1972) Also for this reason, I have taken the trouble to make a great number of drawings. (Brieskom & Knorrer, Plane algebraic curves, p. ii) . . . I should like to bring up again for emphasis . . . points, in which my exposition differs especially from the customary presentation in the text­ 1. Illustration of abstract considerations by means of figures. 2. Emphasis upon its relation to neighboring fields, such as calculus of dif­ ferences and interpolation . . . 3. Emphasis upon historical growth. It seems to me extremely important that precisely the prospective teacher should take account of all of these. (F. Klein 1908, Eng\. ed. p. 236) Traditionally, a rigorous first course in Analysis progresses (more or less) in the following limits, sets, '* continuous '* derivatives '* integration. mappings functions On the other hand, the historical development of these subjects occurred in reverse Archimedes Cantor 1875 Cauchy 1821 Newton 1665 . ;::: Kepler 1615 Dedekind . ;::: Weierstrass . ;::: Leibniz 1675 Fermat 1638 In this book, with the four chapters Chapter I. Introduction to Analysis of the Infinite Chapter II. Differential and Integral Calculus Chapter III. Foundations of Classical Analysis Chapter IV. Calculus in Several Variables, we attempt to restore the historical order, and begin in Chapter I with Cardano, Descartes, Newton, and Euler's famous Introductio.

Genres: Mathematics, Nonfiction, Academic

389 pages, Hardcover

First published January 1, 1997

Reviews

[Fatih Celikbas · Rating 4 out of 5]

It's neither a history of science book nor an analysis textbook. It covers calculus and real analysis up to some multivariable topics in the order that they were discovered. It's a fresh new approach. Additionally, it's less algebraic and provides lots of pictures for building intuition. Original quotes from the seminal papers add to the joy. Recommend it if you know real analysis but want to observe it from a different perspective. In addition, it's still quite detailed and rigorous.

[Arseny Vladimirov · Rating 5 out of 5]

Если бы учебник Хайрера и Ваннера попался мне на глаза ещё в школе, то я наверняка изменил бы свой академический трек на более математический. Но случилось так, что книга попала в моё поле зрения только в последние несколько лет, однако я всё равно благодарен ей за помощь в постижении основ математического анализа.

К сожалению, по большей частью из-за нехватки свободного времени, последнюю часть, посвященную анализу функций нескольких переменных, пришлось читать совсем бегло, опуская почти все доказательства и упражнения, но даже то, что мне удалось понять в рамках усвоенного материала, оставило у меня именно то впечатление от математики, которое я жаждал получить много лет к ряду. Говоря конкретнее, я хотел понять огромный корпус математического анализа как стройную и последовательную область человеческого знания, в которой взаимосвязи между различными "подобластями" становятся понятны и очевидны.

В своё время Гамильтон называл "Аналитическую механику" Лагранжа "научной поэмой". Мне кажется, что такой же эпитет уместно применить и к труду Хайрера&Ваннера - я не припомню, чтобы когда-либо испытываемые мной чувства в процессе овладевания математическим аппаратом настолько близко походили на аналогичные эмоции от знакомства с произведениями искусства. Вероятно, это и есть то самое ощущение, которое необходимо преследовать при изучении сложного и многообразного языка математики. И, что более важно, такое ощущение позволит испытать неподдельное восхищение и удовольствие от математического познания, которое, буду честен, доступно каждому человеку, даже если он намеренно шельмует себя таким глупым ярлыком как "гуманитарный склад ума". Ведь в таком случае все математики могут смело назвать себя языковедами, поскольку они изучают язык математики подобно иностранцу, ежедневно и постранично читающему Толстого и Достоевского в оригинале.

Вместе с тем, главная проблема здесь остаётся в наличии (отсутствии) у читателя нескольких месяцев свободного времени, необходимого для ежедневных упражнений в анализе, которые потребуют методичного вовлечения в теоремы и их доказательства. Но может ли современный человек, перегруженный столькими заботами, найти достаточно свободного времени для постижения матана? Вряд ли. Но окупятся ли потом затраченные время и усилия? О, да! - в этом можно даже не сомневаться.

Приведу одно небольшое открытие, которое я совершил за время обучения: стоит сплину или какой-то особенно гадкой хандре захватить ваше сознание, то просто начните решать какое-нибудь интересное упражнение из анализа и вы очень быстро сможете отвлечься от зудящего вашу душу недуга. Такая вот "прикладная математика".

P.S. Забыл добавить, что также существует русский перевод учебника, называется "Математический анализ в свете его истории" (1999)