Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов

by Vladimir I. Arnold, Владимир Игоревич Арнольд

Комплексные числа описывают движения евклидовой плоскости, одному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватерниона, различие которых (физики назвали это явление спином) связано со свойствами группы преобразований. «Вращения» электронов отличаются от вращений твёрдых тел именно различием спинов, играющих решающую роль при описании электронных оболочек атомов.

В брошюре, наряду с основными фактами классической теории комплексных чисел и кватернионов, рассказаны некоторые новые результаты и гипотезы. Например, комплексной версией тетраэдра оказывается октаэдр, а гипотеза, что кватернионная его версия – икосаэдр, не доказана.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной В. И. Арнольдом для школьников 9—11 классов 17 ноября 2002 года на Малом мехмате МГУ.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов, учителей.

41 pages, ebook

First published January 1, 2002

About the author

Vladimir Igorevich Arnold (alternative spelling Arnol'd, Russian: Влади́мир И́горевич Арно́льд, 12 June 1937 – 3 June 2010)[1] was a Soviet and Russian mathematician. While he is best known for the Kolmogorov–Arnold–Moser theorem regarding the stability of integrable systems, he made important contributions in several areas including dynamical systems theory, catastrophe theory, topology, algebraic geometry, classical mechanics and singularity theory, including posing the ADE classification problem, since his first main result—the partial solution of Hilbert's thirteenth problem in 1957 at the age of 19.

Reviews

[Uladzislau · Rating 3 out of 5]

Начал читать книжку в надежде, что Владимир Игоревич наглядно покажет геометрическую интерпретацию спинов элементарных частиц, и почему некоторые из них просто обязаны для полного поворота развернуться на 720 градусов вместо 360, и наконец смутные мои догадки обретут твердую поддержку чистой математики. Ага... В.И. объяснил... Нет, ну начиналось все чертовски многобещающе - вся теория комплексный чисел на двух страницах, потом кватернионов - на четырех, это я, как понимающий, проглядел одним глазом, ну вот доходим до спинов, и тут наблюдается очередной финт ушами - оказывается причина спина - "двойка Родригеса", то есть угол поворота почему-то надо делить на два, а почему? Дословно - "Современное понимание физики отличается от понимания два столетия назад". То есть почему у электрона спин плюс минус одна вторая? Потому что в современной физике "так принято". Объяснил, блин...

Собственно, содержательно-полезная для не теоретиков часть заканчивается на странице 18. Дальше идет жесткий математический трэш - группа вращений SO(3), автоморфизм, римановы поверхности, монодромии групп радикалов и т.д. Книга написана по материалам лекции, прочитанной автором школьникам 9-11 классов. Школьников, видимо, со все страны поштучно собирали.

Если кому интересно, более доступно комплексные числа описаны в этой книжке Комплексные числа и конформные отображения. Там же, кстати, разбирается и функция Жуковского, причем куда доступнее, нежели чем у Владимира Игоревича Арнольда.