What do you think?
Rate this book
Matematik Felsefesi ve Matematiksel Mantık
Yaklaşık 4000 yıldır, belki de daha uzun bir zamandır insanlık, hâlâ daha ne olduğu tam olarak bilinmeyen ve hiçbir zaman bilinemeyecek olan gerçeğin peşinde. Gerçek diye adlandırdığımız şeyi anlamanın ve başkalarıyla paylaşmanın tek bir yolu vardır, o da matematiktir. Bu yüzden matematiğe ortak akıl diyebiliriz. Gerçeği anlamakla görevli matematikçinin elbette en temel sorusu "gerçek nedir ve nasıl anlaşılır" sorusudur. Bu da matematikle felsefenin kesiştiği noktadır. Matematik felsefesi, öncelikle gerçeğin ve matematiğin ve tabii ki mantığın, düşünmenin ve bilginin ne olduğunu, daha doğrusu ne olması gerektiğini irdeler. Daha derin felsefe herhalde mümkün değildir. -Ali Nesin
216 pages, Paperback
Published June 1, 2019
8 people are currently reading
42 people want to read
Ratings & Reviews
Friends & Following
Create a free account to discover what your friends think of this book!
Community Reviews
Displaying 1 - 2 of 2 reviews
March 26, 2021
Ahmet Hoca'dan zamanında matematik felsefesi dersi almış biri olarak bu kitabı okumak benim için biraz olsun eskilere dönmek, biraz olsun Wittgenstein'ın felsefesinin matematik felsefesi açısından önemi üzerine düşünmek açısından faydalı olacağını düşünüyorum. Kitapta okuduğum kısma kadar dikkatimi çeken, not almaya değer bulduğum şeyleri kısa kısa buraya yazacağım.
Kitabın eleştireceğim yanlarından biri bazı şeyleri daha anlaşılabilir anlatabilirken anlatmamayı tercih etmesi. Kitabın hitap ettiği seviyeden memnunum lakin bir iki cümle fazladan birkaç şey daha açıklansa çok daha fazle sevinirdim. Örneğin Seçim Aksiyomu'nun ne anlama geldiği çok iyi açıklanmamış diye düşünüyorum. Bunun yanı sıra "tamamlanmışlık" gibi terimler tanımlanmış olsa da bunlardan tekrardan bahsederken yine tanımlamak önemli olabilir çünkü okuyucu unutmuş olabilir. Zannediyorum bunun sebebi kitabın bahsetmek istediği çok şey olması ve çokça bilinen şeyleri tekrar anlatmak ile vakit (ya da sayfa) kaybetmek istememesi.
9.chapter'ın başında antik yunan ve diğer eski dönemlerde sonsuzluğun çelişik olduğuna dair yapılan argümanlara kitap "eh tabii o zamanlar sonsuzluğun ne olduğunu bilmiyorlardı" diyor fakat bu yanlış bir eleştiri. Bu argümanları sunanlar Cantor'un tanımını kullanmıyorlar hatta daha da ötesinde çelişkili olduklarını söylemeleri de iki farklı tanım yapmaları. Mesela Scotus'un iki farklı yarıçaplı çember örneğinde her iki çemberin noktaları arasında eşleşme yaparken Cantor'un tanımını kullanıyor ve bu sezgilerimiz ile örtüşüyor fakat büyük çember küçük çemberden daha büyük olduğu için daha çok noktaya sahip olduğunu da söylüyor ki bu da sezgilerimiz ile örtüşüyor. Bu argümanları sonsuzluğa dair sezgisel kullanımlarımızın çeliştiği yönünde ele alırsak geçerli argümanlar. Kitapta Cantor'un kardinalite denklik tanımı sanki göklerde yazıyormuş da eskiler bunu bilmiyormuş ama Cantor keşfetmiş gibi bir algı yaratıyor, tıpkı sistemimizdeki gezegenlerin Güneş etrafında hareket ettiğinin sonradan keşfedilmesi gibi. Halbuki Cantor'un tanımı yalnızca bir convention.
ZFC'nin aksiyomlarından en çok dikkatimi çeken Temellendirme Aksiyomu oldu. Bunun sebebi
... € x_3 € x_2 € x_1 gibi sonsuza kadar geriye gidebilen veya x € x veya x € y € x gibi döngüsel eleman olma durumlarına engel olması. İlk kez von Neumann tarafından ortaya atılmış olması da ayrıca göz yaşartıcı. Bu aksiyomu sağlayan kümelere well-founded deniyor.
Ahmet Hoca, doğal sayılar kümesi gibi sonsuz elemanı olan bir kümenin "varlığından" bahsederken "büyük bir metafiziksel kabul" gerektirdiğini söylüyor ama bu söylem eğer Platoncu isek anlamlıdır (ki bana göre Platonculuk yanlışın da ötesinde, anlamsızdır). Ben matematiğin kendisini çizdiğimiz, yazdığımız "matematik" adı altında yaptığımız davranışların bir bütünü olarak bakıyorum. Örneğin +,2,:,{0} gibi ifadeler veya 2+2=4 gibi kurallar kendi başlarına insan zihninden bağımsız bir anlama sahip değillerdir. Dolayısıyla "Her n doğal sayısı için n+1 doğal sayısı vardır" gibi ifadeler benim için birer önerme değil, dilimizde matematik diyebileceğimiz ifadeleri nasıl kullandığımız ile ilgili bir kuraldır.
Dolayısıyla matematikte kullandığımız "vardır" ile masanın üstünde bir elmanın "var" olması benim için iki ayrı kavramdır. Bu tarz dilde aynı kelime ile kullandığımız ama farklı kullanımları olan kavramların bu farklılığını görememenin pek çok soruna yol açtığını düşünüyorum. Matematikteki ifadelerin "bir şey hakkında" olduğunu düşünmek de bu sorunlardan sadece biri.
Kardinal sayıların, ordinal sayılar üzerinden tanımlandığını öğrenmek benim açımdan yeni bir bilgi oldu. Sayılardan bahsederken ordinal (yani sıralamak için) ve kardinal (yani bir şeyin sayısını söylemek için) diye ayırmamız aslında dilimizde "sayı" ile pek çok farklı kullanımımızın olmasının bir sonucu. Mantık, dilimizde ye alan bazı kullanımların daha net tanım ve kurallar altında birleştirilmesidir.
0'dan sonraki en küçük ordinal omega'dır yani omega = x + 1 i sağlayacak bir x ordinali yoktur. Böyle söyleyince tuhaf geliyor ama aksiyomlara ve çıkarım kurallarına sadık kalırsak ortada hiçbir "sorun" kalmaz (diye tahmin ediyorum). Şu şekilde düşününce omega gibi ordinal sayılar bana anlamlı geliyor. Her bir adımda uzaklığı azalan çubuklar düşünelim: (| | | | | ...) ancak aralarındaki uzaklık öyle bir azalsın ki hiçbir zaman sıfır olmasın ve çubukların oluşturduğu toplam uzaklık sonlu olsun. Bu çubukları soldan itibaren 1,2,3,... diye sıralayalım. O halde bu sonsuz tane çubuğun yanına bir tane daha çubuk koyarsak bu çubuğun sırası nedir, yani şöyle bir çubuk: (| | | | | ...) |. İşte buna omega diyoruz, bu çubuğun yanına bir çubuk daha koyarsak omega+1 olacaktır vs
Teorem: Seçim aksiyomu ÜDİ (üçüncü durumun imkansızlığı) için yeterli koşuldur.
Teorem: Temelellendirme aksiyomu ÜDİ için yeterli koşuldur.
125, 136-138,
Skolem Paradoksu, Yablo'nun Paradoksu, Gödel'in eksiklik ve tamlık teoremleri. Bunları ilk kez bu kitap ile öğrenmedim ama kitap ile tekrar hatırladım. Matematiğin "felsefi" diyebileceğimiz foundations yanının entelektüel anlamda bizi geliştiren yanları olduğunu düşünüyorum. Örneğin her paradoksun döngüsellik içerdiği düşüncesine karşın Yablo'nun Paradoksu döngüsellik içermeyen bir paradoks. Skolem Paradoksu: içerinde sayılamayan sonsuz kümeler olan bir teorinin sayılabilir domaini olan bir model vardır, gibi şeyler dilimizi ve terimlerimizi anlamamızda büyük öneme sahip.
Öte yandan sayıların varlığı, yapıların varlığı, epistemolojik realizm gibi şeylerin tamamen saçmalık olduğunu düşünüyorum. Yukarıdaki matematiksel gösterimlerin aksine bu saf felsefi görüş ve tartışmaların en temelinde kafa karışıklığı olduğuna ikna olmuş durumdayım.
Kitabın eleştireceğim yanlarından biri bazı şeyleri daha anlaşılabilir anlatabilirken anlatmamayı tercih etmesi. Kitabın hitap ettiği seviyeden memnunum lakin bir iki cümle fazladan birkaç şey daha açıklansa çok daha fazle sevinirdim. Örneğin Seçim Aksiyomu'nun ne anlama geldiği çok iyi açıklanmamış diye düşünüyorum. Bunun yanı sıra "tamamlanmışlık" gibi terimler tanımlanmış olsa da bunlardan tekrardan bahsederken yine tanımlamak önemli olabilir çünkü okuyucu unutmuş olabilir. Zannediyorum bunun sebebi kitabın bahsetmek istediği çok şey olması ve çokça bilinen şeyleri tekrar anlatmak ile vakit (ya da sayfa) kaybetmek istememesi.
9.chapter'ın başında antik yunan ve diğer eski dönemlerde sonsuzluğun çelişik olduğuna dair yapılan argümanlara kitap "eh tabii o zamanlar sonsuzluğun ne olduğunu bilmiyorlardı" diyor fakat bu yanlış bir eleştiri. Bu argümanları sunanlar Cantor'un tanımını kullanmıyorlar hatta daha da ötesinde çelişkili olduklarını söylemeleri de iki farklı tanım yapmaları. Mesela Scotus'un iki farklı yarıçaplı çember örneğinde her iki çemberin noktaları arasında eşleşme yaparken Cantor'un tanımını kullanıyor ve bu sezgilerimiz ile örtüşüyor fakat büyük çember küçük çemberden daha büyük olduğu için daha çok noktaya sahip olduğunu da söylüyor ki bu da sezgilerimiz ile örtüşüyor. Bu argümanları sonsuzluğa dair sezgisel kullanımlarımızın çeliştiği yönünde ele alırsak geçerli argümanlar. Kitapta Cantor'un kardinalite denklik tanımı sanki göklerde yazıyormuş da eskiler bunu bilmiyormuş ama Cantor keşfetmiş gibi bir algı yaratıyor, tıpkı sistemimizdeki gezegenlerin Güneş etrafında hareket ettiğinin sonradan keşfedilmesi gibi. Halbuki Cantor'un tanımı yalnızca bir convention.
ZFC'nin aksiyomlarından en çok dikkatimi çeken Temellendirme Aksiyomu oldu. Bunun sebebi
... € x_3 € x_2 € x_1 gibi sonsuza kadar geriye gidebilen veya x € x veya x € y € x gibi döngüsel eleman olma durumlarına engel olması. İlk kez von Neumann tarafından ortaya atılmış olması da ayrıca göz yaşartıcı. Bu aksiyomu sağlayan kümelere well-founded deniyor.
Ahmet Hoca, doğal sayılar kümesi gibi sonsuz elemanı olan bir kümenin "varlığından" bahsederken "büyük bir metafiziksel kabul" gerektirdiğini söylüyor ama bu söylem eğer Platoncu isek anlamlıdır (ki bana göre Platonculuk yanlışın da ötesinde, anlamsızdır). Ben matematiğin kendisini çizdiğimiz, yazdığımız "matematik" adı altında yaptığımız davranışların bir bütünü olarak bakıyorum. Örneğin +,2,:,{0} gibi ifadeler veya 2+2=4 gibi kurallar kendi başlarına insan zihninden bağımsız bir anlama sahip değillerdir. Dolayısıyla "Her n doğal sayısı için n+1 doğal sayısı vardır" gibi ifadeler benim için birer önerme değil, dilimizde matematik diyebileceğimiz ifadeleri nasıl kullandığımız ile ilgili bir kuraldır.
Dolayısıyla matematikte kullandığımız "vardır" ile masanın üstünde bir elmanın "var" olması benim için iki ayrı kavramdır. Bu tarz dilde aynı kelime ile kullandığımız ama farklı kullanımları olan kavramların bu farklılığını görememenin pek çok soruna yol açtığını düşünüyorum. Matematikteki ifadelerin "bir şey hakkında" olduğunu düşünmek de bu sorunlardan sadece biri.
Kardinal sayıların, ordinal sayılar üzerinden tanımlandığını öğrenmek benim açımdan yeni bir bilgi oldu. Sayılardan bahsederken ordinal (yani sıralamak için) ve kardinal (yani bir şeyin sayısını söylemek için) diye ayırmamız aslında dilimizde "sayı" ile pek çok farklı kullanımımızın olmasının bir sonucu. Mantık, dilimizde ye alan bazı kullanımların daha net tanım ve kurallar altında birleştirilmesidir.
0'dan sonraki en küçük ordinal omega'dır yani omega = x + 1 i sağlayacak bir x ordinali yoktur. Böyle söyleyince tuhaf geliyor ama aksiyomlara ve çıkarım kurallarına sadık kalırsak ortada hiçbir "sorun" kalmaz (diye tahmin ediyorum). Şu şekilde düşününce omega gibi ordinal sayılar bana anlamlı geliyor. Her bir adımda uzaklığı azalan çubuklar düşünelim: (| | | | | ...) ancak aralarındaki uzaklık öyle bir azalsın ki hiçbir zaman sıfır olmasın ve çubukların oluşturduğu toplam uzaklık sonlu olsun. Bu çubukları soldan itibaren 1,2,3,... diye sıralayalım. O halde bu sonsuz tane çubuğun yanına bir tane daha çubuk koyarsak bu çubuğun sırası nedir, yani şöyle bir çubuk: (| | | | | ...) |. İşte buna omega diyoruz, bu çubuğun yanına bir çubuk daha koyarsak omega+1 olacaktır vs
Teorem: Seçim aksiyomu ÜDİ (üçüncü durumun imkansızlığı) için yeterli koşuldur.
Teorem: Temelellendirme aksiyomu ÜDİ için yeterli koşuldur.
125, 136-138,
Skolem Paradoksu, Yablo'nun Paradoksu, Gödel'in eksiklik ve tamlık teoremleri. Bunları ilk kez bu kitap ile öğrenmedim ama kitap ile tekrar hatırladım. Matematiğin "felsefi" diyebileceğimiz foundations yanının entelektüel anlamda bizi geliştiren yanları olduğunu düşünüyorum. Örneğin her paradoksun döngüsellik içerdiği düşüncesine karşın Yablo'nun Paradoksu döngüsellik içermeyen bir paradoks. Skolem Paradoksu: içerinde sayılamayan sonsuz kümeler olan bir teorinin sayılabilir domaini olan bir model vardır, gibi şeyler dilimizi ve terimlerimizi anlamamızda büyük öneme sahip.
Öte yandan sayıların varlığı, yapıların varlığı, epistemolojik realizm gibi şeylerin tamamen saçmalık olduğunu düşünüyorum. Yukarıdaki matematiksel gösterimlerin aksine bu saf felsefi görüş ve tartışmaların en temelinde kafa karışıklığı olduğuna ikna olmuş durumdayım.
April 16, 2023
Matematiksel mantığa giriş için mükemmel bir kaynak. İngilizce bile bu kadar iyi bir kitap olacağını zannetmiyorum. Çok temel küme teorisi ve mantık bilmek yetiyor da artıyor. Her bir ispat tek tek açıklanmış. Bazı görüşler özetlenirken hata var dikkatli olmak lazım.
Displaying 1 - 2 of 2 reviews