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味同嚼蜡

讲述欧几里得的第五公设，自诞生起的将近2000年中，一直有人挑战，能否将第五公设去掉。因为它相比其余四条，实在是有点复杂且不直观。

> 在两千年中，数学家们把解决第五公设的问题当做纯粹的智力挑战，却从未想过它会具有任何实际用途。在那个年代，没有人会相信这样的问题有一天可以和牛顿的宏大理论一较高下。

* 分形理论看完。

* 数学什么时候开始反直觉了？

很多时候，比如康托尔的集合论中涉及无穷大的部分。举几个例子：

1.奇数和偶数一样多，这没问题。奇数和整体自然数一样多，你能接受吗？
2.一条线上的点与一个正方形中的点个数是一样多的？

关于二，虽然康托尔本身已经进行了论证，但略显抽象。甚至自己写给朋友兼同行的信如此说道：我看到了，但是我不相信。
> 我看懂了，但是我大受震撼。

知道几年后的佩亚诺写了一篇4页的文章，文中描绘的佩亚诺曲线以另一种方式进行了论证。

这就给20多世纪之前一直没有受过质疑的欧几里得《几何原本》构造的几何世界一点震撼。

> 忽然之间，一切都混在了一起。我们是否可以说一条无限的线拥有面积，还能以平方米为单位呢？我们是否可以说，正方形拥有无限的长度呢？

* chapter 3 海岸线

本章主要讲无穷大的概念。

由海岸线测量问题入手，引导我们得出一个悖论：理查森悖论——海岸线的长度是无限，你测量的越精细，得出的长度就越长。

与我们在上学的时候，学到的计算知识不同。拿巧克力来说事：

> 一个运算的结果并不取决于被计算的对象

比如你有五块巧克力，我拿走两块，不论是我拿走前两块，还是后两块，还是随便两块，你都会剩下三块。

无穷大世界中的计算方式是这样的：
> 一个运算的结果取决于你计算的对象和你选择添加或删除的特定元素。

你有无穷多个巧克力，假如我对其进行编号：
1.我只拿走其中编号为奇数的巧克力，我拿走了无穷多个巧克力，但你还会剩下无穷多个巧克力。
2.我拿走所有的编号，我拿走了无穷多个巧克力，你会剩下0个巧克力。
3.我拿走编号大于等于5的巧克力，我拿走了无穷多个巧克力，你会剩下5块巧克力。

你发现其中的"恐怖之处"了吗？

本章说明了书名《数学的雨伞下》的含义，首先解释一下雨伞在这里面的含义：
雨伞定理：如果你在雨天想要不被淋湿的情况下从一个地方前往另一个地方，请按照以下步骤操作：
1.撑开你的雨伞
2.开始你的行程
3.收起你的雨伞

而数学的雨伞下，就是要用数学这个“雨伞”来解决问题：
当你碰到一个科学问题时，下面这种解决方法往往会很有效果：
1.创造一个数学世界，你可以在这个世界里把问题模型化；
2.在这个数学世界里解决问题；
3.把结果转回到现实世界中；

为什么要用数学这把雨伞？

可以用不存在的东西去恰当的思考。研究数学，就是创造想象的世界，在这些世界中，我们的思维可以自由漫步，不必担心现实的妨碍。

举个例子：今天是4月20，两个星期之后是多少号？采用数学思维，你可以这么计算，两个星期14天，20+14=34，因为4月总共30天，34-30=4，所以结果就是5月4日。4月34日就是利用数学的雨伞，创造出的想象世界。

超市定律：观察超市中物品价格的首位有效数字，统计一下。

你会发现数字的分布非常不均匀？你可能会奇怪，数学不应该有这种“偏见”和“喜爱”呀，这是怎么回事？

138年，弗兰克·本福特发表一篇文章，发现自然界中的很多事物都服从这一分布。他这种分布命名为“反常数定律”。但是这条定律无处不在，以“反常”来命名听起来并不合适。
这让我想起来正态分布normal distribution，正态分布这个名字暗示统计分布一般都应该为正态分布，而不是其他。而现实是并非如此。